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Función Matemática

Esperen, esperen un momento, no crean que me equivoqué en poner el título del artículo, sino todo lo contrario, lo he puesto ahi haciendo uso de todas mis facultades mentales. Ahora que saben que esto no ha sido un error, seguro se preguntarán ¿A qué viene este cuento?, pues no es nada del otro mundo, simplemente un día se me dió por averiguar la etimología del término función y así tratar de remediar lo que no hice en su debido momento, osea, comprender el significado que hay detrás de esa palabra.

Kleiner en un artículo (1989) opina que el concepto de función se remonta 4000 años atrás, y que la noción de función no surgió en forma explícita sino hasta principios del siglo XVIII y en el transcurso de casi 200 años (1450-1650 D.C.).
Por otro lado, Youschkevitch (1976) distingue varias etapas principales del desarrollo del concepto de función hasta la mitad del siglo XIX. Siguiendo un poco la idea de Youschkevitch en nuestro estudio consideramos las  siguientes etapas:

La Antigüedad: En la cual considera principalmente la Matemática Babilónica (2000 a.c. –600 a. c.) y la Griega.
La Edad Media: La cual se divide en dos fases; la Fase Latina (500-1200) y la no Latina (1200-1500).
Período Moderno: En el que se distingue a partir del siglo XVIII cuatro etapas principales en el desarrollo del concepto de función.

La Antigüedad

En esta etapa se llevan a cabo estudios sobre diversos casos de dependencias entre cantidades de diferentes magnitudes, sin embargo, no se llegaron a aislar las nociones generales de cantidad variable y de función. Así tenemos:

  • En las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales.
  • Las matemáticas griegas con los trabajo de Ptolomeo. Él computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas.

Para algunos investigadores, cualesquiera que hayan sido las causas y circunstancias que condujeron a las características de la ciencia antigua, el pensamiento matemático de la antigüedad no creó una noción general de cantidad variable o de una función (Youschkevitch 1976, pág. 40).

La Edad media

El desarrollo del concepto de función en el período medieval se puede dividir en dos partes: una fase no latina desde el año 500 hasta el 1200, y una fase latina, aproximadamente desde el año 1200 hasta el 1500.

Las contribuciones del Período no Latino incluyendo las matemáticas Hindúes y Árabes, caen en el campo del álgebra y la trigonometría. Encontraron soluciones de ecuaciones con una incógnita. Pero, la idea de variable no surgió, y de este modo, no se consideró que una ecuación con dos incógnitas establecía una relación funcional entre dos variables (Boyer, 1946).

En el Período Latino a partir del siglo XIII hasta bien entrado el período moderno aparecieron con notable regularidad tratados sobre proporciones. Estos trabajos equivalen a un álgebra de relaciones del tipo y = kxn, donde n tiene un valor racional.
Pero les faltó el lenguaje del álgebra con el cual expresar la ley de variación o la correspondencia funcional (Boyer, 1946, pág. 10).

Oresme se estaba acercando en 1350 cuando describió las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra.

Periodo Moderno

En el transcurso de 200 años (1450-1650) ocurrieron una serie de desarrollos que fueron fundamentales para el surgimiento del concepto de función:

  • La unión del álgebra y la geometría;
  • La introducción del movimiento como un problema central en la ciencia;
  • La invención del álgebra simbólica, y
  • La invención de la geometría analítica (Kleiner, 1989, pág. 283)

Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. En 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mas grande A con diámetro del doble que el círculo más pequeño B. También produjo la correspondencia uno-a-uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la cual (en términos modernos) daba una bisección entre N y un subconjunto propio.

Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes introducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La geometría). Afirma que una curva puede dibujarse al permitir que un línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva ya que Descartes está pensando en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores como en que la magnitud a partir de la cual se compone la expresión, toma un infinito número de valores.

Detengámonos por un momento antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra ‘función’. Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años. Ya hemos sugerido que una tabla de valores, aunque defina una función, no es pensada necesariamente por su creador como una función. Los primeros empleos de la palabra ‘función’ sí encapsulaban ideas del concepto moderno pero de manera mucho más restrictiva.

Como tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático. Leibniz escribió en agosto de 1673 de:

[...] otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.

Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe una función como:

[...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.

En un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos, Johann Bernoulli escribe sobre ‘funciones de ordenadas’. Leibniz le escribió a Bernoulli diciendo:

[...] Me agrada que use el termino función en el mismo sentido que yo.

A partir del siglo XVIII se perciben cuatro etapas principales en el desarrollo del concepto de función. Matemáticos prominentes están asociados con cada una de estas etapas.

Primera Etapa

En la primera etapa donde la función es una ecuación o fórmula está asociada con Euler (1707-1783).  Euler definió una función siguiendo la definición dada por su maestro Bernoulli como:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.

En 1755 Euler publicó otro libro muy importante, Institutiones calculi differentialis. En este libro definió una función de manera totalmente general, dando lo que podemos razonablemente afirmar que era una definición verdaderamente moderna de función:

Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.

Esta noción de función permaneció sin cambio hasta los inicios de 1800 cuando Fourier en su trabajo sobre las series trigonométricas, encontró relaciones más generales entre las variables.

Segunda Etapa

En 1822 Fourier dio un paso revolucionario en la evolución del concepto de función, al dar una definición de función en la que hacía notar que lo principal era la asignación de valores para la función; que ésta asignación fuera llevada acabo por una o varias fórmulas no era de importancia.

La definición de Fourier es:

“En general, la función f(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada una de las cuales es arbitraria. Para una infinidad de valores dados a la abscisa x, hay un número igual de ordenadas f(x). Todas tienen verdaderos valores numéricos, ya sea positivos o negativos o nulos. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen una a la otra, de cualquier manera, como sea, y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad única” (Rüting, 1984.)

Tercera etapa

En 1829 Dirichlet llega a formular por primera vez el concepto moderno de función y = f(x) de una variable independiente en un intervalo a < x < b.
Esta definición fue extremadamente general, no decía ni una sola palabra sobre la necesidad de dar a la función por medio de una formula, sobre todo el dominio de definición. Definió función de la siguiente forma:

“y es una función de una variable x, definida en el intervalo a<x<b, si a todo valor de la variable x en este intervalo le corresponde un valor definido de la variable y. Además, es irrelevante en qué forma se establezca esta correspondencia” (Kleiner, 1989).

Poincaré estaba a disgusto con la dirección que había tomado la definición de función. En 1899 escribió:

Durante medio siblo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. [...] Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas.

Debates entre muchos matemáticos famosos incluyendo a Fourier, Dirichlet, Cauchy, Riemann, Weirstrass, Lebesgue y Borel dieron ímpetu al continuo desarrollo histórico del concepto de función.

Cuarta etapa

Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día:

Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).

Bourbaki, en 1939 y se caracterizó por la arbitrariedad del dominio y el rango. Él dió una formulación general de función como una regla de correspondencia entre el dominio y el rango:

“Sean E y F dos conjuntos, que pueden ser distintos o no. Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama una relación funcional en y, si para toda x e E, existe un único y e F el cual está en la relación dada con x. (Rüthing, 1984).

En caso de que ésta no sea lo suficientemente precisa y que involucra conceptos como ‘valor’ y ‘correspondencia’, véase la definición dada por Patrick Suples en 1960:

Definición. A es una relación ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ (∃y)(∃z)(x = (y,z)). Se escribe y A z si (y,z) ∈ A.

Definición. ƒ es una función⇔ ƒ es una relación y (∀x) (∀y) (∀z)(x ƒ y y x ƒ z ⇒ y = z).

¿Qué hubiera pensado Poincaré de la definición de Suples?

Referencias

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